Algebraische Geometrie [Lecture notes] by Scheithauer

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Example text

H. trgradK K(V ) = n − 1 = dim(V ). Sei V ⊂ AnK eine irreduzible affine Variet¨at. , Xn − an ) ein maximales Ideal mit I(V ) ⊂ I(P ). Der Quotient MP = I(P )/I(V ) ist ein maximales Ideal in K[V ]. mP = {f ∈ K(V )|f regul¨ar in P und f (P ) = 0} ⊂ OV,P ⊂ K(V ). Im Folgenden betrachten wir T pV als Vektorraum. 7. Es ist (T pV ) ∼ = mP /(mP )2 . Beweis. , 0) annehmen. Die Koordinatenfunktionen sind Linearformen auf K n und bilden eine Basis von (K n ) . , Xn ] ist fP = i=1 ∂xi (P )Xi ∈ (K ) . Die Abbildung d : I(P ) → (K n ) (1) f → fP surjektiv, weil d(Xi ) = Xi .

Seien V, W irreduzible Variet¨aten. Sei f : V − → W eine rationale Abbildung. Dann ist f stetig auf dom(f ). Beweis. Sei V = dom(f ). Dann ist f : V → W . Sei Y ⊂ W abgeschlossen. Wir m¨ ussen zeigen, dass f −1 (W ) abgeschlossen ist. Wir f¨ uhren den Beweis, dass V, W affin sind. Sei V ⊂ AnK , W ⊂ Am K . W werde durch Polynome tj definiert. , fm ) mit fi ∈ K(V ). , Xn ] und hi (P ) = 0 f¨ ur alle P ∈ U besitzt. , . h. f −1 (Y ) ∩ U ist die Nullstellenmenge geeigneter Polynome st auf U . Damit ist f −1 (U ) abgeschlossen in U .

Wie im affinen Fall zeigt man, dass dom(f ) eine offene Teilmenge von V ist. Der lokale Ring von V in P ist definiert als OV,P = {f ∈ K(V )|f regul¨ar in P }. Die Menge mV,P = {f ∈ OV,P |f (P ) = 0} ist ein maximales Ideal in OV,P und wird als maximales Ideal von V in P bezeichnet. mV,P ist das eindeutige maximale Ideal in OV,P . ∪Vn die affine Uberdeckung. Der Isomorphismus K(V ) ∼ ur ein = K(V0 ) induziert einen Isomorphismus OV,P ∼ = OV0 ,P f¨ P ∈ V . Sei V eine irreduzible, projektive Variet¨at.

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