Algebraic and Geometric Topology by James R. Milgram

By James R. Milgram

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Example text

4. V. von Idealen [ ntl"'" Vereinigungsmenge der Mannigfal#gkeiten der Komponenten. 1m Punkt m ~] t'st die Die Mannigfaltigkeit einer ldealsumme (mi' "', ntr ) is! der Dunh8chnitt der Mannig/altigkeitm det' Summanden. 5. Definition. Ein Polynom f enthdlt eine Mannigfaltigkeit lJl, wenn f verschwindet in allen Punkten von M. 6. Sci nun eine Mannigfaltigkeit M gegeben durch ein Ideal m. In der Gesamtheit der Ideale, welche die gleiche Mannigfaltigkeit definieren (8. obiges Beispiel ), ist ein Ideal ausgezeiehnet, namlich die' Gesamtheit aller Polyno,me, welehe die Mannigfaltigkeit enthalten.

B. ein Beriihrungspunkt zweifach gezahlt wird. Es fragt sich nun: 1st dieser Multiplizitatsbegrifi allgemein definierbad Fur welcbe Arten von Problemen hat es Sinn, von Multiplizitaten der Losungen zu reden, und welchen Sinn bat es~ 1m folgenden soil gezeigt werden, da3 sich der Multiplizitatshegrifi definieren liifJt fiir eine Klasse von Problemen, welcbe "Normalprobleme" genannt werden sollen. Ein Normalproblem ist ein geometrisches Problem. dessen Losung auf die Losung eines homogenen Gleichungssystems zuruckgefiihrt werden kann (fiir die genaue Definition verweise icb auf § 2 ).

Sei cine Mannigfaltigkeit M gegeben, und sei m das zugehOrige Ideal. ngen, werden als unbestimmte Punkte der Manniglaltigkeit bezeicbnet, weil sie zwar nieht der Mannigfaltigkeit angehOren, aber doeh allen algebraischen GIei. chungen geniigen, die in Cn(P) die Mannigfaltigkeit definieren, und weil Sle, wenn man die Parameter, von denen sie abbangen, regular spezialisiert 1'-) Zusatz bei der Korrek t ur. ch 8 in der Tat uDzeriegbar, d. h. oieht als Vereinigung von zwei oobten algebraisohen Teiimaoniglaitigkeiten daratellbar.

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